XIV Simpósio de Álgebra
Comitê Organizador
Prof. Edson Ribeiro Alvares (UFPR)Prof. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR)
Comitê Científico
Prof. Edson Ribeiro Alvares (UFPR)Prof. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR)
Fotos do Evento
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15 de fevereiro de 2024 |
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| Horário | Palestrante | Título |
Resumo
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| 9:30 às 10:20 | Flavio Ulhoa Coelho (IME-USP) | On the Gabriel-Roiter measure | The Gabriel-Roiter measure (GR-measure, for short) was introduced by Gabriel upon the induction scheme used by Roiter in his proof of the first Brauer-Thrall conjecture (1968). Before Gabriel explored such a notion, Auslander and Smaløwere also motivated by Roiter’s idea when defining the pre-projective and pre-injective partitions. Ringel has used such an invariant to give alternative proofs of a number of important results in representation theory proven in the 1970s. More recently, Conde used the GR-measure to give another proof for the finiteness of the representation dimension of an Artin algebra. Recall that Iyama has proven such a result in 2002. The aim of this talk is to discuss GR-measure and some new perspectives for its use.
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| 10:20 às 11:10 | Hernan Giraldo (Universidad de Antioquia, Colômbia) | Auslander-Reiten triangles in Frobenius categories and applications | Let (C, E ) be a Krull-Schmidt Frobenius category, that is, C is an additive category, E is the class of exact pairs, and (C, E ) is an exact category. For C, the stable category of C, we prove that every Auslander-Reiten triangle in C, is induced from a special Auslander-Reiten sequence in C when these exist. This result generalizes the same result given by Y. Calderón-Henao, H. Giraldo, and J.A. Vélez-Marulanda in [3], they obtained this result for $\Ar$-mod the stable category of Λr-mod the abelian category of finitely generated left Λr-modules, where Λr is the repetitive algebra of Λ the finite dimensional k -algebra with k an algebraically closed field. As an application of our result we obtain an easy proof, than the one given by E.R. Alvares, S.M. Fernandes, and H. Giraldo in [1], of how to get the shape of the Auslander-Reiten triangles in the bounded derived category D^b(Λ-mod), with Λ-mod being the category of finitely generated left Λ-modules. Finally, we noted how our result is applied to give a relation between the strong global dimension, complexes of fize size, and the bounded derived category D^b(Λ -mod), this relations was given by Y. Calderón-Henao, F. Gallego-Olaya, and H.Giraldo in [2].
[1] Alvares, E.R., Fernandes, S. M., and Giraldo H., Shape of the Auslander-Reiten triangles, Algebras and Representation Theory, Volume 23, Number 6, (2020), 2257-2274. [2] Calderón-Henao, Y., Gallego-Olaya, F., and Giraldo, H. Relations between the strong global dimension, complexes of fixed size and derived category, https://arxiv.org/abs/2011.05220 [3] Calderón-Henao, Y., Giraldo, H. and Vélez-Marulanda J.A. On irreducible morphisms and Auslander-Reiten triangles in the stable category of modules over repetitive algebras, Springer, Algebr Represent Theor, Volume 26, (2023), 2039-2055. |
| 11:10 às 12:00 | Viktor Bekkert (UFMG) | On piecewise hereditary tree algebras | In this talk, I will review some old and recent results about the problem of classification of piecewise hereditary tree algebras and of their hereditary types. |
| 14:00 às 14:30 | German Benitez (UFAM) | Uma Generalização da Categoria de módulos de uma álgebra repetitiva | Em 1983, Hughes e Waschbusch introduziram a álgebra repetitiva Ab associada com uma álgebra de dimensão finita A. No mesmo artigo, os autores estudam a categoria de Ab-módulos como sendo certas sequências de A-módulos. Tanto a álgebra repetitiva quanto sua categoria de módulos estão se destacando em Teoria de Representações, Categorias Derivadas, Geometria algébrica, entre outras áreas.
Nesta palestra trataremos de uma generalização da Categoria de módulos sobre uma álgebra repetitiva, a qual nos permitirá generalizar naturalmente as álgebras repetitivas. Também, veremos algumas propriedades, que nos permitiram visualizar algumas das vantagens desta generalização. No final da palestra se pretende apresentar alguns dos novos caminhos que surgiram com esta abordagem. Trabalho em andamento em colaboração com Pedro Hernandez Rizzo da UdeA – Colômbia. |
| 14:40 às 15:10 | Fernando Araujo Borges (UFPR) | Teoria dos Nós e Álgebras de Conglomerado | Nessa palestra será apresentada uma conexão entre a Teoria dos Nós e Álgebras de Conglomerado, seguindo Bazier-Matte e Schiffler (2022). Mais precisamente, mostraremos como associar um quiver com potencial à uma imagem de uma projeção de um nó em um plano. E também como obter o polinômio de Alexander de um nó a partir de uma especialização do F-polinômio de um módulo indecomponível sobre a álgebra Jacobiana do quiver com potencial. |
| 15:20 às 15:50 | Matheus Batagini Brito (UFPR) | Álgebras de Nil Hecke e fórmula determinante para sl_n afim quântico | Apresentarei uma nova família de representações simples da álgebra afim quantizada do tipo A que generaliza duas famílias “ortogonais” de representações bem conhecidas: módulos serpente e módulos de Hernandez-Leclerc. Tais objetos são primos, reais e admitem uma fórmula determinante em termos de uma ação da álgebra de Nil Hecke sobre o monoid de multisegmentos. Isso generaliza a fórmula determinante de Tadic-Lapid-Minguez para as representações escada sobre grupos p-ádicos via álgebras de Hecke afim e uma generalização da dualidade de Schur-Weyl. |
| 16:00 às 18:00 | Luana Demarchi Grassi (PPGM-UFPR) | Defesa de dissertação de mestrado: Higher Auslander-Reiten sequences | |
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16 de fevereiro de 2024 |
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| Horário | Palestrante | Título |
Resumo
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| 9:30 às 10:20 | Eliezer Batista (UFSC) | Bissecções generalizadas em Hopf algebróides | Os Hopf algebroides podem ser considerados como uma estrutura algébrica que generaliza, ao mesmo tempo, a noção de grupóide e de álgebra de Hopf. Na literatura, existem vários resultados que mostram a conexão entre grupóides e semigrupos inversos, considerando-se as bissecções locais de um grupóide. Para o caso de Hopf algebróides, existiam tão somente resultados na direção de estudar o grupo das bissecções globais (de fato, são birretrações, pois todos os morfismos invertem o sentido). Nesta palestra, apresentaremos duas perspectivas para construirmos o análogo das bissecções locais em Hopf algebróides comutativos. Na primeira abordagem, definimos as birretrações locais a partir idempotentes na álgebra de base. Na segunda abordagem, utilizamos quocientes por ideais da álgebra de base. Este segundo ponto de vista é o ponto de vista clássico da geometria algébrica. No primeiro caso, o conjunto das birretrações pode ser provado como sendo apenas um semigrupo regular (muito embora a álgebra gerada por esse semigrupo é um exemplo de semigrupo inverso quântico). No segundo ponto de vista, conseguimos provar que as birretrações locais constituem um semigrupo inverso. Por fim, dentro da segunda construção, provamos que o semigrupo das birretrações induz um funtor covariante entre a categoria dos Hopf algebroides comutativos com morfismos “algébricos” e a categoria dos semigrupos inversos. Este é um panorama de dois trabalhos do autor: o primeiro em colaboração com Marcelo Muniz Silva Alves e Francielli Kuerten Boeing e o segundo em colaboração com Paolo Saracco. |
| 10:20 às 11:10 | Eduardo Nascimento Marcos (IME-USP) | Strongly stratifying ideals, Morita contexts and Hochschild homology | We consider stratifying ideals of finite dimensional algebras in relation with Morita contexts. A Morita context is an algebra built on a data consisting of two algebras, two bimodules and two morphisms. For a strongly stratifying Morita context – or equivalently for a strongly stratifying ideal – we show that Han’s conjecture holds if and only if it holds for the diagonal subalgebra. The main tool is the Jacobi-Zariski long exact sequence. One of the main consequences is that Han’s conjecture holds for an algebra admitting a strongly (co-)stratifying chain whose steps verify Han’s conjecture.
If Han’s conjecture is true for local algebras and an algebra $\Lambda $ admits a primitive strongly (co-)stratifying chain, then Han’s conjecture holds for $\Lambda $. |
| 11:10 às 12:00 | Kostiantyn Iusenko (IME-USP) | Han’s conjecture: recent progress and generalizations | The Han’s Conjecture states that for a finite-dimensional algebra, Hochschild Homology vanishes if and only if the algebra has finite global dimension. In the first part of the talk, we will discuss the statement of the conjecture and recent progress in proving it. In the second part of the talk, we will explore how this conjecture behaves in a broader realm of algebras known as pseudocompact algebras. For this class of algebras, Han’s conjecture remains valid in some cases, while in others, it does not. |
| 14:00 às 14:30 | Willian Velasco (PPGM-UFPR) | Enlargements de categorias inversas e equivalências de Morita | A noção de ação parcial de grupos foi idealizada por Ruy Exel em seu campo de estudo, álgebra de operadores, na década de 1990. Alguns anos mais tarde no trabalho “Associativity of crossed products by partial actions”, em colaboração com Mikhailo Dokuchaev, foi apresentada uma versão puramente algébrica da noção de ação parcial de um grupo em uma álgebra. Além desta inovação, os autores apresentam uma condição para que a álgebra associada a uma ação parcial de um grupo em uma álgebra seja Morita equivalente a álgebra originada pela globalização desta ação. Do ponto de vista das estruturas envolvidas, podemos deduzir informações a respeito das álgebras a partir das estruturas que agem e dos produtos semidiretos induzidos. Na teoria de semigrupos inversos e grupóides existe a noção de “enlargement”, apresentadas em “Inverse semigroups – The theory of partial symmetries”, de Lawson. De certa forma, as noções anteriores quando combinadas ao isomorfismo de Steinberg entre álgebras de semigrupos inversos e grupóides (“A groupoid approach to discrete inverse semigroup álgebras”), nos permite concluir que as álgebras do par semigrupo inverso e seu enlargements são Morita equivalentes (análogo para grupóides). Nesta palestra apresentaremos uma generalização destas construções e aplicações para o caso de categorias inversas. Estas categorias são generalizações naturais de grupóides e também monoides inversos. Em nossas abordagens categóricas, utilizaremos o conceito de categorias Morita equivalente e o completamento idempotente de uma categoria. Estas ferramentas nos permitem obter propriedades a respeito do par de álgebras formado pela álgebra de uma categoria inversa e a álgebra de seu enlgargement.Este trabalho foi realizado em colaboração com Marcelo M. Alves (UFPR); apresentaremos resultados ainda não publicados decorrentes da tese de doutoramento do palestrante, trabalho intitulado “Algebras of expanded structures”. |
| 14:40-15:10 | Lucas Henrique (Rocha de Souza UFMG) | Sierpiński Carpets and relatively hyperbolic groups | The topology of a Bowditch boundary of a relatively hyperbolic group (with respect to a set of parabolic subgroups) has its importance, not only as an invariant for the group, but as a way to encode algebraic information about it, such as decompositions of the group as graphs of groups or if the group is a group of isometries of a manifold, for example. We present some examples of topological spaces that can appear as boundaries of relatively hyperbolic groups.
Whyburn showed that if we take a 2-sphere and remove an infinite collection of open disks satisfying some properties, then we get the 1-dimensional Sierpiński Carpet. After that, Cannon generalized it for n-dimensional Sierpiński Carpets. Recently, Tshishiku and Walsh gave another characterization of the Sierpiński Carpet: if we take a 2-sphere, remove a countable dense set and replace each point by a circle, then we get a 1-dimensional Sierpiński Carpet. We generalized their result for a n-dimensional Sierpiński Carpet. Then, we are able to show that some groups have a Bowditch boundary homeomorphic to the n-dimensional Sierpiński Carpet. |
| 15:20-15:50 | Arthur Rezende Alves Neto (PPGM-UFPR) | Representações parciais de álgebras de Hopf pontuadas | As representações parciais de álgebras de Hopf foram introduzidas por Alves, Batista e Vercruysse em [1]. Neste mesmo artigo, fizeram uma construção associando cada álgebra de Hopf H a outra álgebra Hpar, chamada de “álgebra de Hopf parcial” associada a H, que na realidade é um algebroide de Hopf. Representações parciais de H correspondem a representações globais (clássicas) da álgebra Hpar.
Dokuchaev, Exel e Pìccione em seu artigo [3], descreveram os algebroides associados às álgebras de grupo. Já em [1], os autores mostraram que se H é uma álgebra universal envelopante de uma álgebra de Lie, então Hpar = H. A partir desse último resultado, torna- se evidente que as representações parciais de álgebras de Lie são, de fato, equivalentes a representações globais. Nesse trabalho discutiremos alguns resultados estruturais das álgebras Hpar para o caso H pontuada. Para fazer isso, primeiramente veremos que o corradical de H, isto é, a soma das subcoalgebras simples de H, tem uma relação interessante com a existência de representações parciais. Utilizando uma ferramenta apresentada em [3] e as ações parciais de H, poderemos então discutir os resultados estruturais mencionados anteriormente. Utilizando esses resultados, apresentaremos alguns exemplos explícitos desses algebroides, associados a uma família de álgebras de Hopf de dimensão 2n e corradical de dimensão 2 descritas e classificadas por Caenepeel e Descalescu em [4]. Mostraremos que, da mesma forma que essas álgebras de Hopf formam uma cadeia ascendente de álgebras de Hopf, as álgebras parciais de Hopf associadas também formam uma cadeia de álgebras. Para concluir, focaremos nos dois primeiros elementos da família, onde o menor é a álgebra de Sweedler e o outro é uma soma direta de uma álgebra de Sweedler e um ideal nilpotente; descreveremos as álgebras parciais de Hopf associadas e estudaremos suas representações parciais. Esta apresentação reúne resultados obtidos em trabalhos conjuntos com Eliezer Batista, Joost Vercruysse, Arthur Rezende Alves Neto e William Hautekiet.* Referências [1] M. M. Alves, E. Batista, J. Vercruysse, Partial representations of Hopf algebras. Journal of Algebra 426, 137-187 (2015). [2] M. M. Alves, E. Batista, J. Vercruysse, Dilations of partial representations of Hopf algebras. Journal of the London Mathematical Society 100, 273-300 (2019). [3] M. Dokuchaev, R. Exel, P. Pìccione, Partial Representations and Partial Group Algebras. Journal of Algebra 226, 505-532 (2000). [4] S. Caenepeel, S. Dascalescu, On pointed Hopf algebras of dimension 2 n. Bulletin of the London Mathematical Society 31, 17-24 (1999) |
| 16:00-16:30 | CAFÉ | ||
| 16:30-17:00 | Grasiela Martini (UFRGS) | Sobre (co)ações parciais das Álgebras de Taft e das álgebras de Hopf de Nichols | As ações e coações parciais das Álgebras de Taft e das álgebras de Hopf de Nichols, sobre seu corpo base, foram todas determinadas em [1], e além disso, mostrou-se que todas elas são simétricas. Assim, neste trabalho, o objetivo é apresentar alguns resultados que caracterizam (co)ações parciais destas famílias além do corpo base, estendendo os já existentes ([2]). O trabalho foi desenvolvido em conjunto com os professores Leonardo Duarte Silva (UFRGS) e Graziela Langone Fonseca (IFSul).[1] G. Fonseca, G. Martini and L. Silva. Partial (co)actions of Taft and Nichols Hopf algebras on their base fields, International Journal of Algebra and Computation 31 (07) (2021), 1471-1496. [2] G. Fonseca, G. Martini and L. Silva. Partial (co)actions of Taft and Nichols Hopf algebras on algebras, Journal of Pure and Applied Algebra 228 (01) (2024), 107455. |
| 17:10-17:40 | Leonardo Duarte Silva (URGS) | Ações parciais de extensões de Hopf-Ore | Em [1] e [2] foram estudadas ações parciais de algumas álgebras de Hopf pontuadas, com especial interesse na álgebra de Taft. Em particular, conseguimos caracterizar algumas dessas ações parciais como extensões de ações parciais de sua álgebra de elementos group-likes. Tais resultados nos motivaram a explorar a ideia de caracterizar ações parciais de álgebras de Hopf construídas como extensões de Hopf-Ore [3]. Neste trabalho pretendo apresentar alguns resultados que obtivemos até o momento.
Trabalho em colaboração com Grasiela Martini (UFRGS) e João Matheus Jury Giraldi (UFRGS). [1] G. Fonseca, G. Martini and L. Silva. Partial (co)actions of Taft and Nichols Hopf algebras on their base fields, International Journal of Algebra and Computation 31 (07) (2021), 1471-1496. |