Título: Introdução às ações parciais de grupos em álgebras.
Professor: Willian Goulart Gomes Velasco
Resumo:
As ações parciais de grupo constituem uma generalização das ações de grupo tradicionais. Enquanto nas ações usuais cada elemento do grupo atua sobre todos os elementos de um conjunto, nas ações parciais essa atuação pode ser limitada, ou seja, um elemento do grupo pode não agir em todos os elementos do conjunto. Essa abordagem confere maior flexibilidade e dá origem a estruturas matemáticas mais gerais.As ações parciais de grupo são uma generalização das ações de grupo usuais. Em uma ação de grupo usual, cada elemento do grupo age em cada elemento do conjunto. No entanto, nas ações parciais, um elemento do grupo pode não agir em todos os elementos do conjunto. Isso permite uma maior flexibilidade e leva a estruturas mais gerais.
As ações parciais de grupo encontram aplicações em diversas áreas da matemática, como teoria dos anéis, teoria dos grupos, teoria dos grafos e sistemas dinâmicos.
O professor Ruy Exel desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento dessa teoria, contribuindo com conceitos e técnicas essenciais que hoje são amplamente empregados na área. Seu livro, e alguns artigos, servirão como guia para as discussões ao longo deste minicurso.
Neste curso introdutório, exploraremos os conceitos fundamentais da teoria de ações parciais, destacando, sempre que possível, as semelhanças e diferenças em relação à teoria clássica de ações de grupo. Além disso, analisaremos exemplos de ações de grupo em álgebras e discutiremos as condições para a existência de sua globalização.
Cronograma:
Aulas 1: resumo de ações de grupos e seus principais resultados e exemplos
Aula 2-3-4: definição de ações parciais de grupos em álgebras, principais exemplos e propriedades
Aula 5: a globalização de uma ação parcial de grupos em álgebras.
As aulas serão remotas e síncronas, com material elaborado pelo instrutor.
Referências:
[1] Lawson “Introduction to inverse semigroups” (https://arxiv.org/abs/2304.13580)
[2] Rotman “An introduction to the theory of group” (https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4176-8)
[3] Ruy Exel “Partial Dynamical Systems, Fell Bundles and Applications” (https://arxiv.org/abs/1511.04565)
[4] Ruy Exel, Michael Dokuchaev “Associativity of crossed products by partial actions, enveloping actions and partial representations”. (https://arxiv.org/abs/math/0212056)
Carga Horária: 10 horas
Vagas: 40
Período de realização: 13 a 17/01/2024
Horário: 13:30 a 15:30.
Local: O curso será realizado de forma remota.
Público alvo: estudantes de graduação e pós graduação em Ciências Exatas e Tecnológicas.
Inscrições: de 13/12/2024 a 09/01/2025 neste formulário.
Título: Teoria de representações de categorias aditivas
Professor: Vitor Gulisz
Resumo:
Dada uma álgebra ou um anel, um modo de estudá-la(o) é através de seus módulos, e esta é, de fato, a principal ideia por trás da teoria de representações. Agora, suponha que você se depara com uma categoria aditiva, a qual você gostaria de entender melhor. Existem certamente muitos métodos que você poderia considerar para este objetivo, mas usar teoria de representações também é uma possibilidade neste caso. Ou seja, é possível estudar uma categoria aditiva através dos seus módulos.
Neste minicurso, explicaremos o que são módulos sobre uma categoria, e iremos detalhar suas propriedades básicas e examinar como eles podem ser utilizados para entender uma dada categoria aditiva. Em particular, explicaremos como estas ideias podem ser empregadas em álgebra homológica superior, teoria de Auslander-Reiten superior, e também como elas poderiam ser utilizadas em outras áreas, como em análise funcional.
Cronograma: 4 aulas, cada aula com 2 horas de duração.
Aula 1: Definição de um módulo sobre uma categoria, módulos projetivos finitamente gerados, o lema de Yoneda e exemplos.
Aula 2: Módulos finitamente apresentáveis, a caracterização de uma categoria abeliana em termos dos seus módulos e exemplos.
Aula 3: A caracterização de uma categoria n-abeliana em termos dos seus módulos, álgebra homológica superior e a correspondência de Auslander superior generalizada.
Aula 4: Teoria de Auslander-Reiten clássica e superior através de módulos sobre categorias.
Referências:
[1] Vitor Gulisz. First steps in higher Auslander–Reiten theory. Master’s thesis, Universidade Federal do Paraná, 2021 (https://acervodigital.ufpr.br/handle/1884/71956).
[2] Vitor Gulisz. A functorial approach to n-abelian categories, 2024. arXiv:2409.10438.
Carga horária: 8 horas.
Número de vagas: 40
Período de realização: 24 a 27/02/2025.
Horário: 9:30 a 11:30.
Local: Centro Politécnico – UFPR, Bloco PC, Anfiteatro A.
Público alvo: estudantes de graduação e pós graduação em Ciências Exatas e Tecnológicas.
Inscrições: de 13/12/2024 a 17/02/2025 neste formulário.
Título: Introdução à teoria de distribuições
Professores: André Pedroso Kowacs, Pedro Meyer Tokoro
Resumo:
A teoria de distribuições é uma das teorias mais fundamentais para grande parte da área de análise e equações diferenciais nos dias de hoje. Neste curso, priorizaremos introduzir os conceitos, ideias e pontos importantes sobre a teoria, evitando demonstrações extensas e detalhes técnicos.
O espaço D’ das distribuições é uma extensão natural do espaço das funções suaves no seguinte sentido: toda função suave pode ser vista como uma distribuição, e podemos definir uma noção de derivada em D’ que coincide com a derivada usual quando restringimos ao caso de uma função sendo vista como uma distribuição. Por construção, o espaço D’ contém todas as funções contínuas, as funções localmente integráveis, assim como outros objetos que não são provenientes de funções, como o delta de Dirac. Além disso, toda distribuição é infinitamente diferenciável (no sentido distribucional), o que faz de D’ um ambiente adequado para buscarmos soluções para equações diferenciais parciais (EDPs).
Neste curso, apresentaremos a definição de uma distribuição, bem como a noção de convergência no espaço D’ e as principais propriedades operacionais envolvendo distribuições. A partir da definição da operação de convolução de uma distribuição, discutiremos a noção de solução fundamental de um operador diferencial e algumas consequências acerca da regularidade de soluções de EDPs. Por fim, traremos a noção de funções de Schwartz e distribuições temperadas, que são o ambiente adequado para trabalharmos com a transformada de Fourier, tópico da última aula, e que também possui aplicações importantíssimas no estudo de EDPs.
Cronograma: 5 aulas, cada aula com 2 horas de duração.
Aula 1: Introdução ao conceito de distribuição, notações e topologias (Mitrea Chap. 1 e 2)
- Funções contínuas como funcionais lineares em C^\infty_0 e a extensão dessas por
distribuições. - Distribuições e derivada fraca como solução fraca (generalizada) de EDPs. (Assim
como em Mitrea Chap. 1). - Notação de multi-índices.
- Notações usuais e da Mitrea e convergência em C^\infty, C^\infty_0 e D’.
Aula 2: Operações básicas com distribuições (Mitrea Chap. 2)
- Multiplicação de distribuição por função suave, translação, etc….
- Derivadas distribucionais.
- Restrição de uma distribuição e suporte de uma distribuição.
Aula 3: Convolução de distribuições e operadores diferenciais, soluções fundamentais
(Mitrea Chap. 2 e Chap. 5)
- O espaço das distribuições de suporte compacto, a equivalência com o dual de C^\infty.
- Convolução de distribuições e suas propriedades. O delta de Dirac como elemento
neutro da convolução. - Definição de operador diferencial.
- Soluções fundamentais e o Teorema de Malgrange-Ehrenpreis.
- Suporte singular e regularidade.
Aula 4: Espaço de Schwartz e distribuições temperadas (Mitrea Chap. 3 e 4)
- Definições, topologia e propriedades.
- Definição do Espaço de crescimento lento.
- Exemplos.
Aula 5: Transformada de Fourier (Mitrea Chap. 3 e 4)
- Transformada de Fourier, bijeção sobre Schwartz e resultados clássicos (i.e.
Riemann-Lebesgue, isometria L^2, etc..). - Ação da transformada de Fourier e propriedades, isto é, sobre multiplicação,
convolução, produto tensorial, derivadas, fórmula fechada para distribuições de suporte
compacto. - Exemplos.
Pré-requisitos: Cálculo, análise, álgebra linear.
Referência principal: D. Mitrea. Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic
Analysis.
Referência complementar: H. Duistermaat e J. Kolk. Distributions: Theory and Applications.
Carga horária: 10 horas.
Número de vagas: 40
Período de realização: 20 a 24/01/2025.
Horário: 9:30-11:30
Local: Centro Politécnico – UFPR, Bloco PC, Anfiteatro A.
Público alvo: estudantes de graduação e pós graduação em Ciências Exatas e Tecnológicas.
Inscrições: de 13/12/2024 a 09/01/2025 neste formulário.
Título: Integrais impróprias
Ministrante: Luiz Antonio Ribeiro de Santana
Resumo: Trata-se de dois tipos de extensão do conceito da Integral de Riemann: o cálculo de integrais em intervalos limitados onde o integrando não possui valores limitados no dado intervalo, ou o cálculo de integrais de funções em intervalos não limitados.
Cronograma: 2 aulas de 3 horas cada.
Carga horária total: 6 horas.
Período de realização: 30/01/25 e 31/01/25
Horário: Das 13h30 às 16h30.
Local: Bloco PA ou PC do Setor de Exatas (sala ainda a ser divulgada)
Público alvo: estudantes de graduação que desejem aprender outros conceitos de integral além daqueles vistos na disciplina de Cálculo I.
Título: Introdução ao Mathcha
Ministrante: Luiz Antonio Ribeiro de Santana
Resumo: Mathcha é um editor de matemática WYSIWYG online gratuito que você pode usar para inserir rapidamente símbolos matemáticos, fórmulas e muito mais em documentos, desenhe gráficos e diagramas e exporte/compartilhe o documento com outras pessoas.
O Mathcha possui um conjunto muito rico de símbolos e layouts para criar até as fórmulas mais complexas. Depois de inserir alguns símbolos, uma caixa de sugestões reconhece a fórmula que você está tentando digitar e oferece prováveis pistas/sugestões. Tudo isso pode ser feito sem conhecer o LaTeX, que é um sistema de preparação de documentos que usa texto simples (não processadores de texto WYSIWYG) combinado com linguagem de marcação descritiva de alto nível para gerar documentos técnicos ou científicos.
Cronograma: 5 aulas de 2 horas de duração.
Carga horária total: 10 horas.
Período de realização: 3/2/25 a 7/2/25
Horário: Das 13h30 às 15h30.
Local: Lamind (Bloco PC)
Público alvo: estudantes de graduação e pós-graduação com necessidade de escrever textos matemáticos com qualidade.
Inscrições: de 20/12/2024 a 22/01/2025 neste formulário.